簡(jiǎn)介

 

大學(xué)教授的許多科目都會(huì)令學(xué)生發(fā)問(wèn)："學(xué)習(xí)這門課程能讓我找到一份工作嗎？"控制理論可能就是這樣一門課程，這些多達(dá)數(shù)頁(yè)的數(shù)學(xué)和框圖不會(huì)在實(shí)際電路中被直接使用。但是，控制系統(tǒng)教授工程師如何設(shè)計(jì)自動(dòng)系統(tǒng)、系統(tǒng)距離實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定操作還有多大距離，以及如何從給定系統(tǒng)獲得最佳響應(yīng)。因?yàn)椴还苷n程是關(guān)于機(jī)械、電氣、土木、航空，或者是通信工程，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，一切都沒(méi)有用。

 

對(duì)于設(shè)計(jì)工程師來(lái)說(shuō)，控制理論就是生命本身。

 

現(xiàn)在有許多關(guān)于控制理論的優(yōu)秀文章，但是其中很多都是借助框圖，以最概括化的方法來(lái)進(jìn)行介紹。本文主要面向電子工程師，從電路分析和仿真的角度介紹電子控制系統(tǒng)；介紹了常見(jiàn)的二階系統(tǒng)背后的理論，而且是利用有效的電路示例來(lái)加以說(shuō)明；旨在揭露二階系統(tǒng)的基礎(chǔ)原理，并向嘗試了解電子控制理論的人員說(shuō)明，該理論與模擬電路設(shè)計(jì)之間存在關(guān)聯(lián)。

 

二階系統(tǒng)

 

圖1所示為最基礎(chǔ)的二階網(wǎng)絡(luò)。

 

圖1.由一個(gè)電阻、一個(gè)電感和一個(gè)電容構(gòu)成的二階網(wǎng)絡(luò)。

 

其傳遞函數(shù)為：

 

 

方程1右側(cè)的分母被稱為 特征多項(xiàng)式 ，如果我們令特征多項(xiàng)式為0，我們會(huì)得出 特性方程。當(dāng)轉(zhuǎn)換函數(shù)的分母等于0時(shí)，得到系統(tǒng)的極點(diǎn) 通過(guò)求解特性方程的根（讓特性方程等于0的s的值），我們可以找到系統(tǒng)的極點(diǎn)，從而獲取與系統(tǒng)運(yùn)行狀況相關(guān)的許多信息。

 

二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為：

 

 

其中ζ表示阻尼系數(shù)，ω_n表示電路的固有振蕩頻率（或無(wú)阻尼頻率），單位為弧度/秒。

 

所以，二階系統(tǒng)的一般特性方程為：

 

 

比較方程3和方程1，我們可以看出，圖1中的電路的固有頻率為：

 

 

我們也可以看出，電路中的電阻會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)的阻尼系數(shù)：

 

 

所以

 

 

所以

 

 

可以直觀看出，如果電路中沒(méi)有電阻，網(wǎng)絡(luò)不會(huì)出現(xiàn)耗損（無(wú)阻尼），如果模擬這種電路，則電路會(huì)永久振蕩。隨著電阻增加，振蕩會(huì)更快衰減。

 

圖2顯示一個(gè)RLC電路，其中階躍輸入為1 V，L = 1 µH，C = 1 µF，電阻分別為0 Ω、100 mΩ和500 mΩ。電路按照預(yù)期的159 kHz頻率振蕩。電阻增加對(duì)衰減的影響一目了然。

 

圖2.電阻對(duì)網(wǎng)絡(luò)振蕩的衰減影響。

 

我們可以通過(guò)將拉普拉斯域轉(zhuǎn)換為時(shí)域，以數(shù)學(xué)方式展示圖2所示的模擬結(jié)果。拉普拉斯域中的單位階躍輸入寫為：

 

 

所以當(dāng)我們使用單位階躍輸入仿真二階系統(tǒng)時(shí)，結(jié)果會(huì)變成：

 

 

如果使用部份分式分解法，方程9可以寫為：

 

 

方程10是表示在拉普拉斯域中的。

 

在時(shí)域中，這會(huì)轉(zhuǎn)換為：

 

 

其中

 

 

采用逆拉普拉斯變換的公式11的數(shù)學(xué)推導(dǎo)如 附錄A所示。

 

通過(guò)公式11，我們可以看出圖1的電路如何響應(yīng)階躍輸入。我們可以看到，波形具有與正弦曲線類似的特性，其幅度則由e^–ζωnt項(xiàng)調(diào)制，根據(jù)阻尼系數(shù)是正數(shù)或復(fù)數(shù)出現(xiàn)指數(shù)式衰減或增加。近似來(lái)看，響應(yīng)由正弦部分和余弦部分組成，但是，阻尼系統(tǒng)較低時(shí)，正弦部分非常小。

 

此外，盡管電路的固有頻率為ω_n，但電路不會(huì)按照此頻率振蕩，而是按照更低一些的頻率ω_dn決定。

 

要找出轉(zhuǎn)換函數(shù)的極點(diǎn)，則需要確定轉(zhuǎn)換函數(shù)何時(shí)等于0，也就是說(shuō)：

 

 

s的值可以使用二次方程求解：

 

 

其中

 

 

要得出系統(tǒng)極點(diǎn)，需要：

 

 

如果阻尼系數(shù)小于1，會(huì)得出負(fù)的平方根，所以最好將方程15寫作：

 

 

我們之前說(shuō)過(guò) ω_d = ω_n√(1 – ζ²)，所以方程16可以改寫為：

 

 

這里我們可以看出，系統(tǒng)的極點(diǎn)包含實(shí)數(shù)部分(–ζω_n) 和虛數(shù)部分 (±jω_d)。

 

方程17可以求解得出特性方程的根（系統(tǒng)的極點(diǎn)）。我們?nèi)绾螌⑦@些極點(diǎn)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性聯(lián)系起來(lái)？現(xiàn)在我們需要把拉普拉斯域的極點(diǎn)和時(shí)域的穩(wěn)定性聯(lián)系起來(lái)。

 

通過(guò)方程11和方程17，我們可以得出以下觀察結(jié)果。

 

無(wú)阻尼固有頻率ω_n決定了：

 

拉普拉斯域（方程17）中的極點(diǎn) (–ζω_n)的虛數(shù)部分。

振蕩的實(shí)際頻率

由此，可以合理假設(shè)極點(diǎn)的虛數(shù)部分確定了系統(tǒng)振蕩的實(shí)際頻率。

 

這兩個(gè)假設(shè)可以用s平面圖表示，我將在下一節(jié)詳細(xì)介紹。

 

穩(wěn)定的系統(tǒng)

 

控制理論認(rèn)為，如果極點(diǎn)位于s平面的左半部分，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖3所示為一個(gè)s平面示例，其中實(shí)數(shù)部分在x軸上繪制，虛數(shù)部分在y軸上繪制。

 

圖3.s平面：顯示穩(wěn)定的左半部分和不穩(wěn)定的右半部分。

 

從方程17可以看出，如果阻尼系數(shù)為正（方程17的實(shí)數(shù)部分為負(fù)），則極點(diǎn)位于左半部分。隨著阻尼系數(shù)增加，方程17的極點(diǎn)進(jìn)一步向左移動(dòng)（在左側(cè)平面內(nèi)，越來(lái)越靠近左側(cè))。

 

如果方程17在拉普拉斯域中，如何在時(shí)域中轉(zhuǎn)換？

 

為了方便起見(jiàn)，我們?cè)俅问褂梅匠?1：

 

 

正阻尼系數(shù)ζ會(huì)引發(fā)指數(shù)式的衰減幅度響應(yīng)（由e^–ζωnt項(xiàng)表示），阻尼越大，衰減越快。隨著阻尼系數(shù)增加，極點(diǎn)進(jìn)一步向左移動(dòng)（在拉普拉斯域內(nèi)），這進(jìn)一步增大了時(shí)域內(nèi)的指數(shù)式衰減。從圖2中可以看出這一點(diǎn)，圖2使用100 mΩ和500 mΩ線路來(lái)表述電阻對(duì)阻尼的影響。在此區(qū)域中，500 mΩ線路的阻尼系數(shù)最大，所以它的指數(shù)式衰減最明顯。0 Ω時(shí)，阻尼系數(shù)為0，此時(shí)極點(diǎn)完全位于y軸上，電路無(wú)限振蕩，如圖2中的綠色線路所示。

 

值得注意的是，即使系統(tǒng)是穩(wěn)定的，這并不表示一定沒(méi)有振蕩。電路可能會(huì)在左半平面的極點(diǎn)處振蕩，但是這些振蕩的振幅會(huì)隨著時(shí)間而衰減，如圖2所示。

 

這對(duì)圖1中的電路意味著什么?

 

我們知道圖1中的阻尼是通過(guò)下方的方程得出：

 

 

它的固有頻率則是：

 

 

所以，在L = 1 µH，C = 1 µF時(shí)，固有頻率為1 Mrads^–1 (= 159.1 Hz)，R = 500 mΩ時(shí)的阻尼系數(shù)為0.25。

 

所以，阻尼振蕩頻率ω_d由以下方程計(jì)算得出：

 

 

所以，阻尼振蕩頻率為968 krads^–1，即154 kHz。這可以通過(guò)查看圖4中紅色波形的頻率來(lái)說(shuō)明。

 

圖4.阻尼對(duì)RLC電路振幅和頻率的影響。

 

正弦波的振幅按e^–ζωnt衰減。阻尼系數(shù)為0.25，固有頻率ω_n為1 Mrads^–1，阻尼固有頻率為968246 rads^–1，那么方程11變成：

 

 

使用這個(gè)公式，計(jì)算得出V_OUT在3.26 μs時(shí)為1.44 V，在9.75 μs時(shí)為1.09 V，與圖4中顯示的讀數(shù)完全一致。

 

圖4清楚顯示了增加阻尼系數(shù)會(huì)產(chǎn)生的影響，即振幅和阻尼固有頻率都減小。

 

如果我們繼續(xù)增大阻尼系數(shù)，會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果？

 

我們知道阻尼固有頻率是通過(guò)以下方程計(jì)算得出：

 

 

當(dāng)阻尼系數(shù)增大到一時(shí)，阻尼固有頻率減小到零。這就是所謂的臨界阻尼點(diǎn)，此時(shí)電路中的所有振蕩終止。這一點(diǎn)可參見(jiàn)方程11。自阻尼固有頻率ω_d減小到0，正弦項(xiàng)等于0，余弦項(xiàng)目等于一，表達(dá)式簡(jiǎn)化為一階系統(tǒng)，與通過(guò)電阻充電的電容完全一樣。

 

 

這一點(diǎn)可以參見(jiàn)圖4中的臨界阻尼線路。

 

不穩(wěn)定系統(tǒng)

 

由于所有電路都具有電阻，所以許多電子控制電路的極點(diǎn)都位于左半平面，且系統(tǒng)本身保持穩(wěn)定。但是，由方程11可以看出，負(fù)阻尼系數(shù)會(huì)導(dǎo)致振幅響應(yīng)呈指數(shù)增長(zhǎng)，所以極點(diǎn)位于右半平面會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。在電路模擬中，通過(guò)插入負(fù)電阻，可以很容易看出右半平面的影響。圖5顯示RLC電路，其電阻為負(fù)。

 

圖5.電阻為負(fù)的RLC電路。

 

該電路的阻尼系數(shù)為-0.1。圖6顯示了它對(duì)階躍輸入的響應(yīng)。

 

圖6.阻尼為負(fù)的二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。

 

阻尼固有頻率仍然由以下方程表示：

 

 

阻尼系數(shù)為-0.1時(shí)，振蕩的實(shí)際頻率為994987 rads^–1 (158.3 kHz)。

 

同樣，從方程11可以看出電路響應(yīng)由以下公式表示：

 

 

在輸出增大時(shí)，我們可以得出振幅響應(yīng)：V_OUT在41.05 μs時(shí)，計(jì)算得出的值為61.62 V，在47.36 μs時(shí)，為114.99 V，與圖6中所示的讀數(shù)完全一致。

 

主導(dǎo)極點(diǎn)

 

有時(shí)一個(gè)系統(tǒng)由許多極點(diǎn)組成，使分析變得復(fù)雜。但是，如果極點(diǎn)之間相隔的距離足夠大，那么一個(gè)極點(diǎn)產(chǎn)生的影響會(huì)占主導(dǎo)，因此可以忽略非主導(dǎo)極點(diǎn)，從而簡(jiǎn)化系統(tǒng)。

 

圖7的上半部分顯示了兩個(gè)RLC電路，每個(gè)都使用完全相同的L和C元件；只是電阻發(fā)生了變化。電阻較低的電路的極點(diǎn)更靠近s平面的虛數(shù)軸。

 

圖7.主導(dǎo)極點(diǎn)的位置對(duì)串聯(lián)和并聯(lián)電路的影響。

 

圖7的下半部分顯示了這兩個(gè)電路的串聯(lián)。我們使用行為電壓源B1來(lái)復(fù)制V(OUT3)，以免它被R4、L4和C4加載，以便我們查看V(OUT3) × V(OUT4)的真實(shí)響應(yīng)。

 

圖8.當(dāng)兩個(gè)波形相加或相乘時(shí)，主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。

 

我們可以參考圖8查看它們的響應(yīng)。不出所料，電阻最大的電路具有最大的阻尼系數(shù)，因此其振蕩衰減也最快，如圖V(OUT2)所示。但是，我們注意到，當(dāng)兩個(gè)輸出要么相加（使電路并聯(lián)），要么相乘（使電路串聯(lián)）時(shí)，V(OUT1)在響應(yīng)中占主導(dǎo)。因此，要簡(jiǎn)化復(fù)雜的系統(tǒng)，方法之一是重點(diǎn)關(guān)注極點(diǎn)更靠近jω軸的電路，該電路會(huì)主導(dǎo)整個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)。

 

在左右半面均有極點(diǎn)分布的系統(tǒng)

 

我們已經(jīng)考慮過(guò)極點(diǎn)位于左半平面或右半平面的系統(tǒng)。如果系統(tǒng)在左右半面均有極點(diǎn)分布，會(huì)怎么樣？哪一種在穩(wěn)定性方面更勝一籌？為什么？

 

我們?cè)俅螀⒖挤匠?1，可以看出指數(shù)是決定系統(tǒng)是否穩(wěn)定的決定因素。我們可以忽略方程11的正弦部分，只看指數(shù)，以了解如果我們將左半面的極點(diǎn)和右半面的極點(diǎn)結(jié)合，會(huì)發(fā)生什么。圖9通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單電路來(lái)進(jìn)行演示。

 

圖9.極點(diǎn)分別位于左半面和右半面的電路。

 

很顯然，頂部的RC電路的極點(diǎn)位于左半面，因?yàn)樗碾娮铻檎５撞侩娐返臉O點(diǎn)則位于右半面。得出此結(jié)論的數(shù)學(xué)推導(dǎo)如 附錄B所示。

 

圖9中，電路的響應(yīng)如圖10所示。

 

圖10.對(duì)具有正負(fù)電阻的RC電路的階躍輸入的響應(yīng)。

 

頂部波形在大約5毫秒后穩(wěn)定在零梯度，這符合大眾接受的規(guī)則，即RC電路將穩(wěn)定在大約5個(gè)時(shí)間常數(shù)。相反，V(OUT2)的梯度不斷增加?，F(xiàn)在可以明顯看出，如果將極點(diǎn)位于左半面的電路和極點(diǎn)位于右半面的電路串聯(lián)，那么整個(gè)電路會(huì)不穩(wěn)定，這是因?yàn)樵谧蟀朊骐娐贩€(wěn)定很長(zhǎng)時(shí)間后，右半面電路的響應(yīng)會(huì)繼續(xù)呈指數(shù)上升。因此，為了讓電路穩(wěn)定，所有極點(diǎn)都必須位于左半面。

 

結(jié)論

 

本文將電子控制理論中使用的理論模型與電子工程師所處的現(xiàn)實(shí)聯(lián)系起來(lái)。受系統(tǒng)中的電阻（或阻尼）影響，只有當(dāng)所有極點(diǎn)都位于左半面時(shí)，控制系統(tǒng)才會(huì)保持穩(wěn)定。對(duì)于極點(diǎn)位于右半面的系統(tǒng)，通過(guò)測(cè)量其輸出響應(yīng)，結(jié)果證實(shí)存在問(wèn)題，因?yàn)檫@需要構(gòu)建負(fù)電阻模型。幸好，計(jì)算機(jī)模擬幫我們解決了這個(gè)問(wèn)題，讓我們能夠通過(guò)簡(jiǎn)單變更電阻的極性來(lái)展示穩(wěn)定和不穩(wěn)定的電路。

 

同樣，拉普拉斯變換也很少在課堂之外出現(xiàn)，但在驗(yàn)證二階電子系統(tǒng)如何工作時(shí)，它們的作用可謂是無(wú)價(jià)的。

 

附錄A

 

顯示

 

 

單位階躍輸入的拉普拉斯變換為

 

 

二階低通濾波器的通用轉(zhuǎn)換函數(shù)為

 

 

所以，由單位階躍模擬的二階系統(tǒng)的響應(yīng)為

 

 

使用了標(biāo)準(zhǔn)的部份分式分解法，方程如下：

 

 

用s代替x之后，

 

 

在A4中，分子中不含s或s²。而且，分母中也不含a。

 

所以方程A6可以改寫為

 

 

因此

 

 

為保證方程A8兩邊的分母相同，可以將其改寫為

 

 

為了驗(yàn)證，可以將方程A9的右側(cè)與方程A8的右側(cè)進(jìn)行比較：

 

 

現(xiàn)在，我們可以使方程A9的分母相等，以求解A、B和C：

 

 

s²的系數(shù)相等：

 

0 = A + B

 

s¹:的系數(shù)相等：

 

0 = A(2ζωn) + C

 

s⁰:的系數(shù)相等：

 

ω_n ² = Aω_n ²

 

所以A = 1, B = –1, C = –2ζω_n

 

因此，通過(guò)方程A8可以得出

 

 

（注意符號(hào)的變化，因?yàn)锽和C都為負(fù)）

 

從時(shí)域（左邊）到拉普拉斯域（右邊）有三次變換：

 

 

通過(guò)完成平方計(jì)算，我們可以把方程A12寫為

 

 

等于

 

 

我們現(xiàn)在需要讓分子等于 (s + 2ζω_n) ，使其與分母中的第一項(xiàng)匹配，以便我們使用拉普拉斯定義：

 

 

因此，通過(guò)將ζω_n分子項(xiàng)分解為分式，方程A15等于

 

 

（所以， a = –ζω_n b = ω_n√(1 – ζ²))

 

我們現(xiàn)在需要讓方程A17的第三個(gè)項(xiàng)等于ω_n√(1 – ζ²) ，使其和分母匹配，以便我們使用拉普拉斯定義：

 

 

用方程A17的第三個(gè)項(xiàng)除以 ω_n√(1 – ζ²)，然后將 ω_n√(1 – ζ²)放在分子位置。

 

那么整個(gè)方程可以改寫為

 

 

所以 a = –ζω_n b = ω_n√(1 – ζ²)

 

方程A19現(xiàn)在可以從拉普拉斯域中轉(zhuǎn)變?yōu)?/div>